设KK是RR或CC, XX是域KK上的向量空间.
A. 映射q:X→Rq:X→R称为拟半范数, 如果
(i) q(x+y)≤q(x)+q(y)q(x+y)≤q(x)+q(y), 对于任意x,y∈Xx,y∈X.
(ii) q(tx)=tq(x)q(tx)=tq(x), 对任意的x∈Xx∈X和t∈Rt∈R, t≥0t≥0.
B. 映射q:X→Rq:X→R称为是半范数, 如果上面的两个条件中(ii)改为
(ii') q(λx)=|λ|q(x)q(λx)=|λ|q(x), 对任意x∈Xx∈X和λ∈Kλ∈K.
注: 若q:X→Rq:X→R是半范数, 则对于任意的x∈Xx∈X, q(x≥0)q(x≥0).
(因2q(x)=q(x)+q(?x)≥q(0)=02q(x)=q(x)+q(?x)≥q(0)=0).
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问题: 设XX是复数域CC上的向量空间, q:X→Rq:X→R是XX上的拟半范数, 给定线性子空间Y?XY?X和YY上的线性映射?:Y→C?:Y→C使得
R?(y)≤q(y),?y∈Y.
??(y)≤q(y),?y∈Y.
则存在线性映射ψ:X→Cψ:X→C满足:
(i) ψ∣Y=?ψ∣Y=?;
(ii) Rψ(x)≤q(x)?ψ(x)≤q(x), ?x∈X?x∈X.
证明: 设?1=R??1=??, 因?1?1是(Y,R)(Y,R)上的线性映射且被拟半范数qq控制, 则由RR-Hahn Banach定理, ?1?1可延拓到(X,R)(X,R)上的实线性映射ψ1ψ1且满足
(i') ψ1∣Y=?1ψ1∣Y=?1;
(ii') ψ1(x)≤q(x)ψ1(x)≤q(x), ?x∈X?x∈X.
但注意这里用的是实的Hahn Banach定理, 所延拓的ψ1ψ1是针对实向量空间(X,R)(X,R)的, 要得到复向量空间的ψ1ψ1, 则在(Y,C)(Y,C)上考虑ψ1(y)=?1(y)ψ1(y)=?1(y), 但新定义的ψ1ψ1是实域上的线性映射, 而不是复域上的线性映射,
显然所求线性映射ψψ的实部Rψ?ψ在实线性空间中也满足以上两条件.
若取Rψ=ψ1?ψ=ψ1, 则ψψ在实的情况已满足条件(ii). 而
Iψ(y)=R(?iψ(y))=Rψ(?iy)=ψ1(?iy),
?ψ(y)=?(?iψ(y))=?ψ(?iy)=ψ1(?iy),
于是ψ(y)=ψ1(y)+iψ1(?iy)ψ(y)=ψ1(y)+iψ1(?iy), 要证ψ∣Y=?ψ∣Y=?, 只需证
Iψ(y)=I?(y),?y∈Y,
?ψ(y)=??(y),?y∈Y,
然而
I?(y)=R(?i?(y))=R(?(?iy))=?1(?iy)=ψ1(?iy)=Iψ(y).
??(y)=?(?i?(y))=?(?(?iy))=?1(?iy)=ψ1(?iy)=?ψ(y).
最后证明线性映射ψ(x)=ψ1(x)+iψ1(?ix)ψ(x)=ψ1(x)+iψ1(?ix)在复域上满足(ii), 这里的ψ1(?ix)ψ1(?ix)是怎么定义的?
